La premessa.
6 anni fa ho pubblicato un post dal titolo “La Fisica delle pere”. Trattava di un modello giocattolo dello spaziotempo, con alcune proprietà interessanti. In quella sede mi ero concentrato in particolare sulle proprietà dello spazio discreto, questa volta mi concentrerò sul tempo.
In fisica delle pere il tempo c’è ma non ci sono oggetti quindi risulta arduo definire concetti semplici come “velocità” o anche molto più banalmente “movimento", per poter fare qualche ragionamento userò quindi un modello ancora più banale, il modello “Stop Motion”.
Tutti sulla giostra, siori e siore, si parte.
Stop Motion.
La stop motion è una tecnica di animazione che funziona così. Dato un palcoscenico/set e una serie di personaggi/oggetti/pupazzi, il burattinaio muove solo un po’ ogni soggetto quindi fa uno scatto e ripete l’operazione.
L’insieme di tutti gli scatti appare come un’animazione fluida esattamente come un cartone animato (che di fatto è una sottospecie di stop motion in cui i soggetti sono disegni) o un film.
Sostanzialmente un filmato in genere coglie un numero finito di attimi della realtà, uno per fotogramma. Se tale numero è abbastanza alto la visione del filmato risulta fluida “come se” la parte di realtà scartata fosse superflua.
Il modello di tempo delle pere assume questo stato di cose come fondante: la percezione continua del tempo che scorre è in realtà una successione discreta di attimi di tempo.
Dalla fisica delle pere invece prendiamo lo spazio discreto in una forma semplificata: in un attimo di tempo un soggetto esegue esattamente un movimento unitario minimo. Questa condizione impedisce al burattinaio, tra uno scatto e l’altro, di muovere troppo o troppo poco i suoi pupazzi.
Il modello è bello che finito, tempi discreti di una unità temporale e movimenti fissi di una unità spaziale. Esattamente come sei anni fa, da un modello banale proviamo a trarre fatti curiosi e divertenti.
Il tempo locale.
La prima osservazione importante è che in questo modello il tempo risulta essere una proprietà strettamente locale. Nessuno vieta al burattinaio di lasciare fermo un soggetto per 10 fotogrammi durante i quali muove un altro soggetto. In questo caso, mentre per un soggetto sono passate dieci unità di tempo, per l’altro non ne è passata nessuna, è surgelato nel suo presente. Il paradosso dei gemelli della relatività risulta quindi naturale nel tempo delle pere, anzi risulta a priori sorprendente che i due gemelli invecchino in modo simile!
Tutto dipende naturalmente da come il burattinaio distribuisce il tempo, se distribuisce tanti istanti a un gemello e pochi all’altro uno invecchierà e l’altro no.
L’unica cosa che mi preme sottolineare ora, comunque, è che il tempo delle pere non scorre uguale per tutti i soggetti, ogni soggetto ha il suo e non lo spartisce con gli altri.
Più veloce della luce.
Risulta ovvio che in questo modello appare una velocità massima naturale, pari a 1s [un intervallo di spazio] percorso in 1t [un intervallo di tempo]. Chiamiamo c questa velocità.
Possiamo chiamare fotone un soggetto non composto da parti mobili che per ogni attimo di tempo di cui dispone se ne va sempre nella stessa direzione.
Se riceve N attimi di tempo percorre N quanti di spazio mantenendo la velocità costante di c=1s/t [come aveva osservato il ciccio in un commento al precedente post]. A rigore, in realtà, 1s/t è l’unica velocità ammessa, non solo la massima. Se un soggetto si muove lo fa sempre e solo di 1s in 1t. Tuttavia potrebbe fare tre passi avanti e uno indietro assumendo quindi una velocità media di .5s/t [in 4t percorre 2s] oppure starsene sostanzialmente fermo vibrando di un passo avanti e uno indietro.
Possiamo quindi prendere il nostro oggetto senza parti (lo chiameremo “particella”) e creare un fotone. Un fotone è una particella che per ogni istante di tempo che riceve fa un passo sempre nella stessa direzione. Il fotone viaggia a velocità c=1s/t e niente viaggia a velocità maggiori del fotone.
Il concetto di direzione in fisica delle pere è in realtà parecchio ambiguo visto che non sono definite dimensioni ma non ci lasciamo rallentare dai dettagli.
Il burattinaio ordinato e gli strumenti di misura.
Come prima ipotesi supponiamo che il burattinaio distribuisca attimi di tempo in maniera del tutto ordinata. Un attimo al soggetto 1, uno al soggetto 2 e così via fino all’ultimo. Chiamiamo “ciclo” un giro completo di assegnazioni. Vedremo presto come, sorprendentemente, anche in questo caso il tempo risulta strettamente locale e si può avere invecchiamento diversificato dei gemelli. Per capire come succeda però ci serve uno strumento di misura del tempo e cioè un orologio.
Con orologio intendiamo un oggetto complicato, fatto di moltissime parti. Durante un ciclo ogni parte si muove un po’ e alla fine l'orologio è in un nuovo stato riconoscibile. All’inizio è nello stato 1, poi nello stato 2, poi nel 3 e così via. Essendo fatto di un numero finito di parti l’orologio avrà un numero finito di stati e non potrà contare in eterno ma non ci interessa. Ci basta che conti abbastanza. Quindi, in sostanza, l’orologio è un oggetto complesso che conta i cicli.
Due orologi possono anche essere molto diversi e contare comunque entrambi gli stessi cicli. Tutti gli orologi quindi, per come li abbiamo definiti, nell’ipotesi del burattinaio ordinato, sono sincronizzati. Si? No!
La dilatazione temporale.
Il modellino delle pere causa la dilatazione dei tempi, come nella relatività speciale. Vediamo un po’.
Abbiamo due orologi, contano i cicli e sono ben sincronizzati. Ora chiediamo al burattinaio di prenderne uno e fargli fare un bel giro della stanza riportandolo al punto di partenza. Sulle prime il burattinaio sembra molto sicuro di se’ ma presto si rende conto che la questione non è banalissima. Il tempo che assegna ad ogni orologio serve per dare vita all’orologio stesso, non c’è un avanzo di tempo con cui muoverlo. Viceversa, se lo muove usa il tempo a disposizione per traslare e non ne avanza per fare girare i meccanismi. Insomma, se l’orologio viene messo in moto resterà indietro rispetto a quello fermo e per una ragione banalissima, il tempo usato per traslare non è più disponibile per invecchiare. Ecco perché il gemello in viaggio resta più giovane, perché non ha avuto il tempo per invecchiare, avendone usata buona parte per viaggiare. Possiamo immaginare i due gemelli che si rincontrano; il vecchio dice “mamma mia come sei rimasto giovane” e questo potrebbe rispondere “essì ho viaggiato un sacco non ho davvero avuto il tempo di fare altro”.
Quantitativamente si può dire qualcosa di più preciso? Si, si può. Anzitutto, se l’orologio viene mosso alla velocità massima di 1s/t è chiaro che non avanza più alcun tempo per fare altro. Si surgela nel suo presente e, per lui, il tempo non passa più. Si trasforma di fatto uno sciame di fotoni che non fanno altro che andarsene per la loro strada. L’orologio in questo caso non segnerà mai più l’istante di tempo succesivo.
Se invece la velocità è v, frazione di c, la questione si fa un po’ più complicata.
Ci sono due situazioni agli estremi opposti in cui l’orologio si comporta in modi molto diversi.
Per chiarirci chiamiamo “moto proprio” l’insieme dei movimenti propri dell’orologio, quelli che avvengono a bocce ferme per intendersi. Chiamiamo invece “moto di traslazione” il moto che vogliamo sovrapporre all’orologio in modo da ottenere uno spostamento globale di velocità v.
Supponiamo anzitutto che l’orologio sia bidimensionale e supponiamo di muoverlo in direzione perpendicolare al proprio piano. In questo caso, anche se molto arbitrario, il moto di traslazione e il moto proprio sono ben distinti e il calcolo è molto facile. Ad ogni ciclo il burattinaio deve spostare ogni particella dell’orologio in direzione di v di una quantità v, per la vita interna dell’orologio gli avanza quindi la componente perpendicolare a v del versore 1s/t di cui dispone.
Trasformare questa cosa in numeri in fisica delle pere è al di la di quanto possibile in questo momento tuttavia possiamo fare una "teoria delle pere ristretta” che per ora assume che lo spazio delle pere sia più o meno euclideo, in questo caso il conto è banalissimo, l’orologio in moto resta indietro di un fattore RAD(1-v2), cioè la lunghezza del cateto del triangolo che ha ipotenusa c=1 e secondo cateto=v.
Quindi, se il moto proprio è perpendicolare al moto di traslazione si ha una soluzione semplice, l’orologio può essere spostato con un rallentamento netto pari al fattore di Lorentz.
Al contrario se supponessimo che tutto il moto proprio fosse parallelo al moto di traslazione potremmo ragionare così: di N cicli, vN servono per traslare il meccanismo, ne avanzano N-vN per il moto proprio. In questo caso quindi l’orologio rallenta di un fattore (1-v).
E quindi cosa fa un orologio che abbia moti propri misti? Bel problema, in generale l’orologio si sfascia avendo ritardi diversi per movimenti diversi succede che i meccanismi non si incastrano più e l’orologio non può più funzionare. Il burattinaio ha la tentazione di comunicare ai propri committenti che la cosa non si possa fare.
A meno che…
La contrazione spaziale.
La perdita di tempo nella direzione parallela alla traslazione è sempre maggiore di quella nella direzione perpendicolare [cioè RAD(1-v2) >1-v]. Il burattinaio potrebbe ristabilire l’ordine schiacciando un po’ l’orologio nella direzione del moto in modo che i moti propri paralleli a v diventino più brevi e richiedano un po’ meno tempo.
Con questa strategia il burattinaio può spostare l’orologio di una velocità v senza fare danni. Il fattore di contrazione, va da se, è pari al fattore di Lorentz.
Quindi per muovere un orologio di velocità v il burattinaio deve:
1) Schiacciare la dimensione parallela a v di un fattore RAD(1-v2) ottenendo un orologio un po’ più sottile in quella direzione.
2) Ad ogni ciclo spostare l’orologio in direzione v di un fattore v.
3) Eseguire i moti propri ridotti di un fattore RAD(1-v2)
In questo modo l’orologio continua a somigliare a se stesso, si muove di velocità v e ritarda rispetto ad un orologio fermo di un fattore di Lorentz.
Eggià, il modello stop motion fa esattamente l’identica previsione della relatività ristretta di Einstein con l’identico fattore di dilatazione/contrazione di Lorentz. Il che è un po’ sorprendente perché questo ci dice che un film in stop motion è spontaneaneamente ed esattamente relativistico.
Inoltre è emersa, en passant, una velocità v relativa ad un oggetto complesso che può assumere qualunque valore. Cioè, l’assunzione fatta in precedenza che una particella oscilli sul posto o avanzi e indietreggi per avere una velocità diversa da 1 è superflua. Anche se le particelle hanno sempre e solo velocità c gli oggetti composti possono avere sensatamente una velocità v qualunque, ovviamente minore di c.
Lo spazio assoluto.
Però. Al di là del fattore di Lorentz il modello delle pere si discosta dalla relatività per una questione ben più importante.
Il tempo delle pere ripristina di fatto un set fermo e quindi uno spazio assoluto o, se vogliamo, l’etere lumifero.
Nel nostro modello non c’è dubbio che il gemello che resta più giovane sia quello “che si muove”, in relatività invece non c’è un gemello che si muove e uno che sta fermo poiché entrambi i sistemi di riferimento sono inerziali e equivalenti. Di fatto quindi per giustificare il fenomeno è necessario considerare il momento della partenza e dell’inversione di rotta del gemello viaggiatore, momenti in cui i sistemi non sono inerziali. In fisica delle pere invece lo spazio assoluto c’è eccome (e viene da riflettere sul fatto se possa esistere o meno uno spazio relativo discreto). Tuttavia non è permesso sapere di se stesso, ad un orologio, se sia in moto o meno. Quello che possiamo dire è che l’orologio più veloce di tutti è “il più fermo”.
Lo spazio assoluto è forse il concetto il più possibile eretico esprimibile in fisica, ci piace.
Conclusioni
Il lemma Ciccio afferma che in uno spazio tempo delle pere esiste una velocità unica pari a 1s/t.
Dal lemma Ciccio deriva la relatività speciale.
La fisica delle pere è specialmente relativistica.
La fisica delle pere avanza alla velocità di una lumachina, per di più moribonda. Ma è un modello a mio avviso ancora piacevole e ricco di sorprese, spero di potergli dedicare altro tempo. Questo nuovo capitoletto apre nuovi interessanti (mi rendo conto, non per molti) punti di interesse:
1) La fisica delle pere vera e propria (post 1) e il tempo delle pere differiscono poiché in uno ci sono le particelle, nell’altro no. Bisogna capire bene se queste particelle sono necessarie o possono emergere dal modello originale. Le particelle sono artificiose, come disse Isidor Rabi "Queste chi le ha ordinate?", sarebbe bello riportare tutto a livello delle pere come nel vecchio post.
2) In fisica delle pere continuano a mancare i concetti fondamentale di forza, massa e energia. L’importante per me è non forzarli e lasciare che emergano dal modello. Il tempo delle pere sembra lasciare dietro di se degli indizi a riguardo:
- Il moto proprio e il moto di traslazione sono ovviamente solo un modo di categorizzare le cose ma si tratta alla fine di nient’altro che moto, il moto di traslazione viene sottratto al moto proprio causando la dilatazione temporale ma complessivamente il moto totale resta lo stesso. Questo sembra avere enormi affinità con l’uguaglianza massa/energia e con il concetto di “massa a riposo” come se il concetto di energia possa emergere come “quantità di moto totale” di un soggetto complesso e quello di massa, forse, come qualcosa legato alla densità di tale moto. Da questo punto di vista l’energia totale si conserva mentre la contrazione spaziale descritta potrebbe tendere ad aumentare la massa al crescere della velocità.
- Il concetto di forza è per me qualcosa di assolutamente misterioso e non ho mai avuto alcun indizio per poterla esprimere come semplice fatto emergente del modello. Il tempo delle pere però introduce il concetto di contrazione spaziale, cioè in qualche modo il burattinaio deve fare del lavoro aggiuntivo per mettere in moto l’orologio, deve compattare un po’ le particelle. Mi chiedo se da qui possa saltare fuori qualcosa che potremmo chiamare forza.
3) Alla fisica delle pere e al tempo delle pere manca una componente quantistica. Meglio, hanno una componente quantistica, i quanti di spazio e di tempo, ma gli manca il centro fondante della fisica quantistica e cioè una relazione non commutativa [a,b] da cui derivare i principi base della fisica quantistica. Anche in questo caso bisogna stare attenti a non forzare troppo la mano. Per come è costruito il tempo delle pere si è visto come tutto il gioco funzioni ad una scala in cui valga il teorema di Pitagora. Molto vicino ai nodi delle pere le considerazioni fatte non sono più propriamente valide. Possibile che sia su questo punto che bisogna riflettere?
4) Scrivere questo nuovo post mi ha infilato un nuovo tarlo sui fondamenti a cui ho accennato sopra: Lo spaziotempo può essere contemporaneamente quantizzato e relativo? Oppure la quantizzazione ripristina giocoforza lo spazio assoluto di Newton? Si può mettere la questione in vari modi, proverò così.
Rovelli e Vidotto nel loro “Covariant Loop Quantum Gravity: An Elementary Introduction to Quantum Gravity and Spinfoam Theory” riportano il ragionamento di Matvej Bronštejn per cui l’indeterminazione e la relatività comportano l’esistenza di una scala minima di spazio misurabile. Ma come si combina questo fatto con la contrazione spaziale? Questa unità minima, si contrae in relatività ristretta o no?
5) La distribuzione ordinata dei tempi non è necessaria, cosa succede se i tempi fossero distribuiti a caso? Nulla a livello macroscopico ma molto a livello locale. Bisognerebbe rifletterci.
6) Il tempo delle pere è spontaneamente relativistico, questo vale per ogni modello quantizzato dello spazio e del tempo?
7) Insomma, c'è il rischio che prossimamente (altri sei anni?) torni scrivere delle pere.
P.S.
1) Il burattinaio è un artificio retorico, la fisica delle pere non dimostra l’esistenza di dio.
2) Faccio il programmatore e sono un ex edicolante. Siate magnanimi.
marc.